「も」は同類提示、「だって」は不承知
「だって」は反論・言い訳する時に使われるとき
にそれぞれ使用される。
「張り合いたい」は言い訳、「私の方が」は反論で解釈できるのでどちらも間違った使い方はしていないかな、という印象です。